1/17
Kartezyen Koordinat Sistemi
Kartezyen koordinat sistemi, dik kesişen iki sayı doğrusundan oluşur. Yatay eksen x-ekseni (apsis), dikey eksen y-ekseni (ordinat) olarak adlandırılır.
Koordinat Düzlemi Bölgeleri: Koordinat düzlemi eksenler tarafından dört bölgeye ayrılır:
- I. Bölge: x > 0, y > 0
- II. Bölge: x < 0, y > 0
- III. Bölge: x < 0, y < 0
- IV. Bölge: x > 0, y < 0
Koordinat Sisteminin Tarihsel Gelişimi:
Kartezyen koordinat sistemi, Fransız matematikçi ve filozof René Descartes tarafından 1637'de "La Géométrie" adlı eserinde tanıtılmıştır. Bu sistem sayesinde geometrik problemler cebirsel denklemlerle ifade edilebilmiş ve çözülebilmiştir.
Örnek: Nokta Gösterimi
A(3, 2), B(-2, 4), C(-3, -1), D(4, -2) noktalarını koordinat düzleminde gösteriniz ve hangi bölgede olduklarını belirtiniz.
A(3, 2): x = 3 > 0, y = 2 > 0 ⇒ I. Bölge
B(-2, 4): x = -2 < 0, y = 4 > 0 ⇒ II. Bölge
C(-3, -1): x = -3 < 0, y = -1 < 0 ⇒ III. Bölge
D(4, -2): x = 4 > 0, y = -2 < 0 ⇒ IV. Bölge
2/17
Uzaklık Formülü
Koordinat düzleminde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık:
|AB| = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}
Uzaklık Formülü İspatı:
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını alalım. Bu iki noktadan eksenlere paralel çizgiler çizerek bir dik üçgen oluşturalım.
C noktası: C(x₂, y₁) olsun
|AC| = |x₂ - x₁| (yatay uzunluk)
|BC| = |y₂ - y₁| (dikey uzunluk)
ABC dik üçgen olduğundan Pisagor teoremine göre:
|AB|² = |AC|² + |BC|² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
|AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
Örnek: Uzaklık Hesaplama
A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Formül: |AB| = √[(5-2)² + (7-3)²]
= √[3² + 4²]
= √[9 + 16]
= √25
= 5 birim
3/17
Bölme Formülleri
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını birleştiren doğru parçasını içten k = AP/PB oranında bölen P noktasının koordinatları:
P\left(\frac{x₁ + kx₂}{1 + k}, \frac{y₁ + ky₂}{1 + k}\right)
Bölme Formülü İspatı:
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve P(x, y) noktalarını alalım. AP/PB = k olsun.
x eksenindeki izdüşümler: (x - x₁)/(x₂ - x) = k
x - x₁ = k(x₂ - x)
x - x₁ = kx₂ - kx
x + kx = x₁ + kx₂
x(1 + k) = x₁ + kx₂
x = (x₁ + kx₂)/(1 + k)
Benzer şekilde y = (y₁ + ky₂)/(1 + k)
Orta Nokta Formülü: Bir doğru parçasının orta noktası (k = 1):
M\left(\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}\right)
Örnek: Doğru Parçası Bölme
A(2, 3) ve B(8, 9) noktalarını birleştiren doğru parçasını 2:1 oranında içten bölen noktayı bulunuz.
k = 2/1 = 2
x = (2 + 2×8)/(1 + 2) = (2 + 16)/3 = 18/3 = 6
y = (3 + 2×9)/(1 + 2) = (3 + 18)/3 = 21/3 = 7
P(6, 7)
4/17
Doğru Denklemi Formları
Eğim-Kesim Formu
y = mx + c
m: eğim, c: y-kesim noktası
Nokta-Eğim Formu
y - y₁ = m(x - x₁)
(x₁, y₁): doğru üzerinde bir nokta
İki Nokta Formu
\frac{y - y₁}{y₂ - y₁} = \frac{x - x₁}{x₂ - x₁}
Genel Form
Ax + By + C = 0
A, B, C sabitleri, A ve B aynı anda sıfır olamaz
Eğim (m): Bir doğrunun x-ekseni ile yaptığı açının tanjantıdır:
m = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁} = \tan θ
Örnek: Doğru Denklemi Yazma
A(2, 3) ve B(5, 7) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Eğim: m = (7-3)/(5-2) = 4/3
Nokta-eğim formu: y - 3 = (4/3)(x - 2)
y - 3 = (4/3)x - 8/3
y = (4/3)x - 8/3 + 3
y = (4/3)x + 1/3
Genel form: 4x - 3y + 1 = 0
5/17
Doğruların Durumları
Kesişen Doğrular
Eğimleri farklı: m₁ ≠ m₂
Tek bir kesişim noktası vardır
Paralel Doğrular
Eğimleri eşit: m₁ = m₂
Kesişmezler veya çakışıktırlar
Dik Doğrular
Eğimleri çarpımı -1: m₁·m₂ = -1
Birbirine dik kesişirler
Kesişim Noktası: İki doğru:
\begin{cases}
A₁x + B₁y + C₁ = 0 \\
A₂x + B₂y + C₂ = 0
\end{cases}
sisteminin çözümü kesişim noktasını verir.
Dik Doğru Koşulu İspatı:
İki doğru y = m₁x + c₁ ve y = m₂x + c₂ olsun. Bu doğruların eğim açıları α ve β olsun.
Doğrular dik ise: β = α + 90°
m₂ = tan β = tan(α + 90°) = -cot α = -1/tan α = -1/m₁
m₁·m₂ = -1
Örnek: Kesişim Noktası
2x + 3y - 6 = 0 ve x - y + 1 = 0 doğrularının kesişim noktasını bulunuz.
Sistem:
1) 2x + 3y = 6
2) x - y = -1
(2) denkleminden: x = y - 1
(1) denkleminde yerine koy: 2(y-1) + 3y = 6
2y - 2 + 3y = 6
5y = 8 ⇒ y = 8/5
x = (8/5) - 1 = 3/5
Kesişim noktası: P(3/5, 8/5)
6/17
Nokta-Doğru Uzaklığı Formülü
P(x₀, y₀) noktasının Ax + By + C = 0 doğrusuna olan uzaklığı:
d = \frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
Uzaklık Formülü İspatı:
Doğru: Ax + By + C = 0, nokta: P(x₀, y₀)
Doğrunun normal vektörü: \vec{n} = (A, B)
Doğru üzerinde bir Q noktası seçelim
Uzaklık: d = |projnPQ|
d = |\vec{n}·\vec{PQ}|/|\vec{n}|
Q(x₁, y₁) doğru üzerinde olduğundan: Ax₁ + By₁ + C = 0
\vec{PQ} = (x₁ - x₀, y₁ - y₀)
\vec{n}·\vec{PQ} = A(x₁ - x₀) + B(y₁ - y₀) = Ax₁ + By₁ - (Ax₀ + By₀)
Ax₁ + By₁ = -C olduğundan: = -C - (Ax₀ + By₀)
d = |-(Ax₀ + By₀ + C)|/√(A² + B²) = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)
Örnek: Noktanın Doğruya Uzaklığı
P(2, 3) noktasının 3x + 4y - 5 = 0 doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
Formül: d = |3·2 + 4·3 - 5|/√(3² + 4²)
= |6 + 12 - 5|/√(9 + 16)
= |13|/√25
= 13/5
= 2.6 birim
7/17
Açıortay Doğruları
İki doğru:
\begin{aligned}
L₁: & A₁x + B₁y + C₁ = 0 \\
L₂: & A₂x + B₂y + C₂ = 0
\end{aligned}
arasındaki açıortay doğruları:
\frac{A₁x + B₁y + C₁}{\sqrt{A₁^2 + B₁^2}} = ± \frac{A₂x + B₂y + C₂}{\sqrt{A₂^2 + B₂^2}}
Açıortay Formülü İspatı:
Açıortay üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktası, iki doğruya eşit uzaklıktadır:
P'nin L₁'e uzaklığı: d₁ = |A₁x + B₁y + C₁|/√(A₁² + B₁²)
P'nin L₂'ye uzaklığı: d₂ = |A₂x + B₂y + C₂|/√(A₂² + B₂²)
Açıortayda: d₁ = d₂
|A₁x + B₁y + C₁|/√(A₁² + B₁²) = |A₂x + B₂y + C₂|/√(A₂² + B₂²)
Bu denklem iki açıortay verir: ± işareti ile
Örnek: Açıortay Denklemi
3x + 4y - 5 = 0 ve 4x - 3y + 7 = 0 doğrularının açıortay denklemlerini bulunuz.
√(3² + 4²) = √25 = 5
√(4² + (-3)²) = √25 = 5
Açıortaylar: (3x + 4y - 5)/5 = ± (4x - 3y + 7)/5
1. açıortay: 3x + 4y - 5 = 4x - 3y + 7 ⇒ -x + 7y - 12 = 0
2. açıortay: 3x + 4y - 5 = -(4x - 3y + 7) ⇒ 7x + y + 2 = 0
8/17
Çember Denklemleri
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Genişletilmiş hali (genel form):
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Burada merkez: M(-D/2, -E/2), yarıçap: r = √[(D/2)² + (E/2)² - F]
Çemberin Genel Formundan Standart Forma Geçiş:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denklemini tam kareye tamamlayarak standart forma dönüştürebiliriz.
Çember Denklemi İspatı:
Çember, sabit bir M(a, b) noktasından eşit uzaklıkta olan P(x, y) noktalarının kümesidir:
|MP| = r
√[(x - a)² + (y - b)²] = r
(x - a)² + (y - b)² = r²
Örnek: Çember Denklemi
Merkezi M(2, -3) ve yarıçapı 5 birim olan çemberin denklemini yazınız.
Standart form: (x - 2)² + (y - (-3))² = 5²
(x - 2)² + (y + 3)² = 25
Genişletelim: x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 25
x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0
9/17
Elips Denklemleri
Odakları F₁(c, 0) ve F₂(-c, 0), büyük eksen uzunluğu 2a olan elipsin standart denklemi:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
Burada b² = a² - c², a > b > 0
Odaklar
F₁(c, 0), F₂(-c, 0)
c² = a² - b²
Eksantriklik
e = c/a
0 < e < 1
Elips Denklemi İspatı:
Elips tanımı: |PF₁| + |PF₂| = 2a
√[(x-c)² + y²] + √[(x+c)² + y²] = 2a
√[(x-c)² + y²] = 2a - √[(x+c)² + y²]
Kare al: (x-c)² + y² = 4a² - 4a√[(x+c)² + y²] + (x+c)² + y²
Sadeleştir: 4a√[(x+c)² + y²] = 4a² + 4cx
Böl: √[(x+c)² + y²] = a + (c/a)x
Tekrar kare al: (x+c)² + y² = a² + 2cx + (c²/a²)x²
x²/a² + y²/(a²-c²) = 1
b² = a² - c² ⇒ x²/a² + y²/b² = 1
10/17
Hiperbol Denklemleri
Odakları F₁(c, 0) ve F₂(-c, 0), gerçek eksen uzunluğu 2a olan hiperbolün standart denklemi:
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Burada b² = c² - a², c > a > 0
Hiperbol Denklemi İspatı:
Hiperbol tanımı: ||PF₁| - |PF₂|| = 2a
|√[(x-c)² + y²] - √[(x+c)² + y²]| = 2a
Kare alarak (elips ispatına benzer şekilde):
x²/a² - y²/(c²-a²) = 1
b² = c² - a² ⇒ x²/a² - y²/b² = 1
Hiperbolün Asimptotları:
y = ±\frac{b}{a}x
12/17
Öteleme Dönüşümü
Bir şekli a birim sağa, b birim yukarı ötelemek:
\begin{cases}
x' = x + a \\
y' = y + b
\end{cases}
Döndürme Dönüşümü
Bir şekli orijin etrafında θ açısı kadar döndürmek:
\begin{cases}
x' = x\cos θ - y\sin θ \\
y' = x\sin θ + y\cos θ
\end{cases}
Döndürme Formülü İspatı:
P(x, y) noktasını orijin etrafında θ açısı kadar döndürelim.
Kutupsal koordinatlarda: x = r cos φ, y = r sin φ
Döndürülmüş nokta: P'(r cos(φ+θ), r sin(φ+θ))
Trigonometrik formüller:
cos(φ+θ) = cos φ cos θ - sin φ sin θ
sin(φ+θ) = sin φ cos θ + cos φ sin θ
x' = r(cos φ cos θ - sin φ sin θ) = x cos θ - y sin θ
y' = r(sin φ cos θ + cos φ sin θ) = x sin θ + y cos θ
14/17
Vektörel Çarpım Tanımı
\vec{u} = (u₁, u₂, u₃) ve \vec{v} = (v₁, v₂, v₃) vektörlerinin vektörel çarpımı:
\vec{u} × \vec{v} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
u₁ & u₂ & u₃ \\
v₁ & v₂ & v₃
\end{vmatrix}
= (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)
Vektörel Çarpımın Özellikleri:
- \vec{u} × \vec{v} = -\vec{v} × \vec{u} (anti-değişmeli)
- \vec{u} × \vec{v}, hem \vec{u}'ya hem \vec{v}'ye diktir
- |\vec{u} × \vec{v}| = |\vec{u}|·|\vec{v}|·\sin θ
- |\vec{u} × \vec{v}|, \vec{u} ve \vec{v} tarafından oluşturulan paralelkenarın alanına eşittir
15/17
3B Kartezyen Koordinat Sistemi
Üç boyutlu uzayda, dik kesişen üç eksenden oluşan sistem:
- x-ekseni: sağ-sol
- y-ekseni: ön-arka
- z-ekseni: yukarı-aşağı
Bir nokta: P(x, y, z)
3B Uzayda Uzaklık Formülü:
A(x₁, y₁, z₁) ve B(x₂, y₂, z₂) noktaları arasındaki uzaklık:
|AB| = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2 + (z₂ - z₁)^2}
16/17
Düzlem Denklemleri
Normal vektörü \vec{n} = (A, B, C) ve düzlem üzerinde bir P₀(x₀, y₀, z₀) noktası verilen düzlemin denklemi:
A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0
Genel form:
Ax + By + Cz + D = 0
Düzlem Denklemi İspatı:
Düzlem üzerindeki herhangi bir P(x, y, z) noktası için, \vec{P₀P} vektörü düzlemin normal vektörüne diktir:
\vec{P₀P} = (x-x₀, y-y₀, z-z₀)
\vec{n}·\vec{P₀P} = 0
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
17/17
Küre Denklemi
Merkezi M(a, b, c) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Silindir Denklemi
z-eksenine paralel, yarıçapı r olan dairesel silindir:
x^2 + y^2 = r^2
Katı Cisimlerin Analitik İncelenmesi:
Analitik geometri yöntemleriyle katı cisimlerin hacim, yüzey alanı ve diğer özellikleri hesaplanabilir.
Örnek: Küre ve Düzlem Kesişimi
x² + y² + z² = 25 küresi ile z = 3 düzleminin kesişimini inceleyiniz.
z = 3'ü küre denkleminde yerine koy: x² + y² + 9 = 25
x² + y² = 16
Bu, z = 3 düzleminde, merkezi (0,0,3) ve yarıçapı 4 olan bir çemberdir